## IL POTENZIALE COMPLESSO

Esaminiamo adesso le proprietà di una funzione complessa le cui parti reale ed immaginaria sono coniugate. In particolare definiamo il potenziale complesso

Nel piano complesso (Argand-Gauss) ogni punto è identificato da un numero complesso

Potremo allora scrivere, in generale, che

Il fatto che e siano coniugate e dunque soddisfino le condizioni di Cauchy-Riemann è condizione necessaria e sufficiente perché la funzione f sia analitica.

Ora se la funzione f è analitica, ciò implica anche la sua derivabilità, cioè il limite

esiste ed è indipendente dalla direzione di .

Ponendo allora avremo

e identico risultato otterremmo ponendo

Quindi

cioè la derivata del potenziale complesso W nel piano complesso z fornisce il complesso coniugato della velocità.

La conoscenza del potenziale complesso come funzione complessa della variabile z consente dunque di determinare, attraverso una semplice operazione di derivazione, il campo di velocità.