## IL TEOREMA DI BERNOULLI

Vediamo innanzitutto cosa comporta la condizione di irrotazionalità per quanto riguarda l'equazione del moto (Navier-Stokes). Ricordando la relazione vettoriale

un campo di velocità solenoidale (cioè a divergenza nulla) ed irrotazionale è anche, evidendemente, a laplaciano nullo

L'equazione del moto (Navier-Stokes) si trasforma dunque in quella di Eulero, in cui, come nei fluidi ideali (a viscosità nulla), è assente il termine viscoso. Con l'ulteriore ipotesi di stazionarietà l'equazione di Eulero si traduce nella costanza, in tutto il dominio fluido, del trinomio di Bernoulli:

Assumendo ancora che il piano in cui si svolge il moto sia un piano orizzontale (z=cost), si ottiene infine

Questa equazione non lineare consente di determinare il campo di pressione una volta noto il campo di velocità.

Si noti che l'ipotesi di irrotazionalità non implica necessariamente quella di idealità: si possono avere fluidi reali (in cui quindi le tensioni viscose non sono identicamente nulle) in moto irrotazionale. Dovendo soddisfare alle stesse equazioni tali moti sono, dal punto di vista del campo di velocità e di pressione, del tutto identici ai corrispondenti moti ideali.