## LE TRASFORMAZIONI CONFORMI

Fino a questo punto non abbiamo nessuna particolare utilità a rappresentare il moto nel piano complesso. Ma ora è il momento di introdurre le trasformazioni conformi. Sia

una funziona analitica. Accanto al piano z consideriamo il piano

La precedente funzione associa ogni punto nello spazio z ad un punto nello spazio z' cioè trasforma un piano nell'altro. Tale trasformazione si dice conforme perché conserva gli angoli, nel senso che se due linee nel piano z si intersecano secondo un angolo, le due linee trasformate di queste nel piano z' si intersecano secondo lo stesso angolo. In particolare a due famiglie di curve mutuamente ortogonali nel piano z corrispondono due famiglie di curve mutuamente ortogonali nel piano z'. Ne seguirà che la trasformazione conforme fa corrispondere le linee equipotenziali e di corrente di un moto irrotazionale ideale nel piano z a quelle di un altro moto irrotazionale ideale nel piano z'.

Sia dunque dato nel piano z un campo di moto di potenziale complesso W(z). La funzione

è analitica perché la sua derivata

esiste ed è unica perché tali sono le derivate a secondo membro.

Ne segue che W' è il potenziale complesso di un moto irrotazionale ideale nel piano z'.

Siano P e P' due punti corrispondenti nel piano z e z': sarà

per cui

quindi nei punti corrispondenti dei due piani i due potenziali hanno lo stesso valore.

La circolazione rimane immutata, poiché è data, nei due piani, rispettivamente dagli integrali

che sono uguali perché lungo le due linee C e C', che sono l'una la trasformata dell'altra, il potenziale assume lo stesso valore.

Particolare importanza per lo studio dei moti intorno a profili alari ha la trasformazione di Joukowski, che consente di trasformare il dominio esterno ad un cilindro nel dominio esterno ad un profilo di cui è possibile variare spessore e curvatura.